Ce înseamnă nr. naturale – definiție și proprietăți

Numerele naturale sunt un concept fundamental în matematică, având un rol esențial în aritmetică și în teoria numerelor. Acestea sunt folosite în aproape toate domeniile matematicii și sunt folosite pentru a număra obiecte, a exprima ordinea și pentru a reprezenta cantități discrete. În acest articol, vom explora ce sunt numerele naturale, cum sunt definite și care sunt proprietățile lor esențiale.

Definiția numerelor naturale

Numerele naturale sunt acele numere care sunt utilizate pentru a exprima cantități întregi și neative. În general, numerele naturale sunt denumite cu simbolul ℕ. De obicei, mulțimea numerelor naturale include numerele de la 1 în sus, adică ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}, însă, în anumite contexte matematice, mulțimea numerelor naturale este definită și cu 0, adică ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.

Astfel, numerele naturale sunt cele folosite pentru a număra obiecte și pentru a exprima ordinea elementelor într-o secvență. Spre exemplu, „trei mere” poate fi reprezentat de numărul natural 3, iar „al patrulea student” poate fi reprezentat de numărul natural 4.

Exemple de numere naturale:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
• Numerele naturale sunt întotdeauna întregi și pozitive, sau în unele cazuri includ și zero.

Proprietăți ale numerelor naturale

Numerele naturale au mai multe proprietăți fundamentale care le fac utile în diverse ramuri ale matematicii. Iată câteva dintre cele mai importante proprietăți ale acestora:

1. Proprietatea ordinii:
   • Numerele naturale sunt ordonate, ceea ce înseamnă că pentru orice două numere naturale a și b, există întotdeauna o relație de ordine între ele, adică fie a < b, fie a > b, fie a = b.
   • De exemplu, 2 < 5, iar 7 > 3.
2. Proprietatea adunării:
   • Numerele naturale sunt închise față de operația de adunare, ceea ce înseamnă că suma a două numere naturale este întotdeauna un număr natural. De exemplu:
     • 3 + 4 = 7, și 7 este tot un număr natural.
3. Proprietatea înmulțirii:
   • Numerele naturale sunt închise și față de operația de înmulțire. Adică, produsul a două numere naturale este tot un număr natural. De exemplu:
     • 4 × 5 = 20, iar 20 este un număr natural.
4. Existența elementului neutru pentru adunare:
   • 0 este elementul neutru al adunării în mulțimea numerelor naturale (în cazul în care considerăm că 0 face parte din mulțimea numerelor naturale). Adică, pentru orice număr natural n, avem n + 0 = n.
   • Exemplu: 7 + 0 = 7.
5. Existența elementului neutru pentru înmulțire:
   • 1 este elementul neutru pentru înmulțire, deoarece pentru orice număr natural n, avem n × 1 = n.
   • Exemplu: 5 × 1 = 5.
6. Proprietatea asociativității și comutativității:
   • Adunarea și înmulțirea numerelor naturale sunt operații comutative și asociative, ceea ce înseamnă că ordinea în care efectuezi operațiile nu afectează rezultatul:
     • Comutativitate: a + b = b + a și a × b = b × a.
     • Asociativitate: (a + b) + c = a + (b + c) și (a × b) × c = a × (b × c).
7. Proprietatea ordinii față de înmulțire:
   • În cazul înmulțirii, numerele naturale respectă regula ordinii, adică pentru orice numere naturale a, b și c, se respectă:
     • a × (b + c) = a × b + a × c (distributivitate).
8. Divergența între numerele naturale și numerele negative sau fracționare:
   • Numerele naturale nu includ fracții sau numere negative, iar acest lucru le face diferite de mulțimile numerelor raționale și întregi.

Aplicabilitatea numerelor naturale

Numerele naturale sunt esențiale în multe ramuri ale matematicii și științei. Iată câteva domenii în care acestea sunt utilizate:

1. Numărarea și statisticile – Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte, persoane sau evenimente (de exemplu, numărul de copii într-o familie, numărul de studenți într-o sală de curs).
2. Măsurători și unități – În domeniul științei și al ingineriei, numerele naturale sunt utilizate pentru a măsura cantități, cum ar fi timpul, distanța sau temperatura (în anumite cazuri).
3. Teoria numerelor – Numerele naturale sunt baza teoriei numerelor, un domeniu important al matematicii care studiază proprietățile numerelor întregi și ale numerelor prime.

Concluzie

Numerele naturale sunt fundamentale în matematică și reprezintă baza multor concepte și operații matematice. Acestea sunt folosite pentru numărare, măsurători și în multe aplicații practice, având proprietăți esențiale cum ar fi ordinea, adunarea și înmulțirea. În funcție de context, termenul „numere naturale” poate include sau nu 0, dar în ambele cazuri, acestea sunt esențiale pentru dezvoltarea matematicii și pentru înțelegerea multor concepte matematice fundamentale.

Sursa: https://www.jurnalstiri.ro/